Bilangan-bilangan 2, 5, 8, dan 9 disubtitusikan sembarang dan boleh berulang untuk menggantikan konstanta-konstanta a, b, dan c pada persamaan kuadrat berikut ax² + bx + c = 0.
Peluang persamaan kuadrat itu mempunyai akar-akar real yaitu 13/64.
Pembahasan
Misalkan [tex]K=\{2,5,8,9\}[/tex].
Banyak cara memilih [tex](a, b, c)[/tex] dari [tex]K[/tex] di mana [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], dan [tex]c[/tex] boleh berulang adalah [tex]4^3[/tex] cara. Jadi, banyak anggota ruang sampel adalah [tex]n(S)=4^3=\bf64[/tex].
Agar [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] mempunyai akar-akar real, nilai diskriminannya harus lebih dari atau sama dengan [tex]0[/tex], sehingga [tex]b^2 - 4ac \ge 0\ \Rightarrow b^2 \ge 4ac[/tex].
Misalkan [tex]L = \{(a,c):a,c\in K\,,\ a,c\ \textsf{boleh berulang}\}[/tex].
Jika [tex]b=2[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}&2^2 \ge 4ac\ \Rightarrow 1 \ge ac\\&\Rightarrow L=\{\,\}=\emptyset\\&\Rightarrow n(L)\big|_{\,b=2}=\bf0\end{aligned}[/tex]
Jika [tex]b=5[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}&5^2 \ge 4ac\ \Rightarrow \frac{25}{4}=6\,\frac{1}{4} \ge ac\\&\Rightarrow L=\{(2,2)\}\\&\Rightarrow n(L)\big|_{\,b=5}=\bf1\end{aligned}[/tex]
Jika [tex]b=8[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}&8^2 \ge 4ac\ \Rightarrow 16 \ge ac\\&\Rightarrow L=\{(2,2),(2,5),(5,2),(2,8),(8,2)\}\\&\Rightarrow n(L)\big|_{\,b=8}=\bf5\end{aligned}[/tex]
Jika [tex]b=9[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}&9^2 \ge 4ac\ \Rightarrow \frac{81}{4}=20\,\frac{1}{4} \ge ac\\&\Rightarrow L=\{(2,2),(2,5),(5,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2)\}\\&\Rightarrow n(L)\big|_{\,b=9}=\bf7\end{aligned}[/tex]
Dengan demikian, peluang [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] mempunyai akar-akar real, dengan [tex]a,b,c \in \{2,5,8,9\}[/tex] di mana [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], dan [tex]c[/tex] boleh berulang, diberikan oleh [tex]P[/tex] yang dinyatakan oleh:
[tex]\begin{aligned}P&=\frac{\sum\limits_{i\,\in\,\{2,5,8,9\}}n(L)\big|_{\,b=i}}{n(S)}\\&=\frac{0+1+5+7}{64}\\\therefore\ P&=\,\boxed{\,\bf\frac{13}{64}\,}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
